Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problemas 36-40

1.36 Sea el ángulo θ el que forma el vector A con el eje +x, medido en sentido antihorario a partir de ese eje. Obtenga el ángulo θ para un vector que tiene estas componentes: Ax= 2.00m, Ay=-1.00m ; b) Ax=2.00m,Ay=1.00m, c) Ax=-2.00m, Ay= 1.00m, d)Ax= -2.00m, Ay=-1.00m.

a) Tenemos que Ax=2m  y Ay=-1.00m

Y   tanθ=Ay/Ax

Luego   θ=tan^-1(Ay/Ax)= tan^-1(-1/2)= -26.56°

Ese ángulo es el que está en el cuarto cuadrante medido desde el eje +x en sentido horario pero como nos piden el ángulo en sentido antihorario le restamos nuestro resultado a 360°

Respuesta: θ= 360°- 26.56°= 333.44 °

b) Se vuelve a usar la relación de tangente

θ=tan^-1(1/2)= 26.56°

Este resultado ya es positivo y está medido en sentido antihorario por lo que así se queda.

Respuesta: θ=26.56°

c) θ=tan^-1(1/-2)= -26.56°

Primero se puede pensar que es el mismo resultado que el del inciso (a) pero ahora la componente en x es la negativa y la de “y” es positiva por lo que el vector se encuentra en el segundo cuadrante, así que ahora se resta de 180°

Respuesta: θ=180°- 26.56°= 153.44°

d) θ=tan^-1(-1/-2)= 26.56°

En este se parece al inciso b, pero como ambas componentes son negativas se infiere que el vector está en el tercer cuadrante, así que se suma este resultado a 180°

Respuesta: θ=180°+ 26.56°= 206.6°

1.37 Un cohete dispara dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N directamente hacia adelante, mientras que el otro produce un empuje de 513 N 32.4° arriba de la dirección hacia adelante. Obtenga la magnitud y dirección (relativa a la dirección hacia adelante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.

En un plano coordenado nos imaginamos la dirección hacia adelante como el este, o la derecha. Primero tenemos que expresar los vectores en términos de componentes. Llamaremos al primer motor A y al segundo motor B.

Ax= 725 N  (Porque va completamente hacia el este)  Ay=0

Bx= 513cos32.4°= 433.14 N                      By= 513sen32.4°= 274.87 N

Ahora sumamos las components en x para una resultante Rx:

Rx= Ax+Bx= 725N + 433.14N=1158.14 N

E igualmente sumamos las componentes en “Y”:

Ry=Ay+By=0+ 274.87= 274.87 N

Para obtener la magnitud se usa el teorema de Pitágoras.

R= √(Rx²+Ry²)= √( (1158.14N)²+ (274.87N)²)= 1190.31

Y para obtener la dirección utilizamos la tangente inversa.

θ=tan^-1(Ry/Rx)= tan^-1(274.87/1158.14)=13.35 °

Respuesta: 1190.31 N a 13.35°

1.38 Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura 1.26. Use el método de componentes para determinar la magnitud y dirección de su desplazamiento resultante. En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el método de componentes.

Vamos a nombrar los desplazamientos como A, B y C.

A= 2.6 km al Norte

B= 4 km al Este

C= 3.1 km a 45° al Norte del Este

Luego los expresamos en términos de componentes.

Ax=0        Ay=2.6 km

Bx=4 km   By=0

Cx= 3.1cos45°=  2.19 km                     Cy= 3.1sen45°= 2.19 km

Y ahora sumamos las components en x y “y” resectivamente.

Rx= Ax+Bx+Cx= 0+ 4 km + 2.19 km= 6.19 km

Ry= Ay + By + Cy= 2.6 km + 0+ 2.19km= 4.79 km

Y sacamos el vector resultante con el teorema de Pitágoras.

R= √(Rx² + Ry²)=√(6.19² + 4.79²)= 7.83 km

Y sacamos la dirección.

θ= tan^-1(4.79/6.19)=37.73 °

Respuesta: El desplazamiento resultante es de 7.83 km a  37.73° al Norte del Este

1.39 Para los vectores A y B de la figura 1.27, use el método de componentes para obtener la magnitud y dirección de a) A+B; b) la suma vectorial B+A; c) la diferencia vectorial A-B; d) la diferencia vectorial B-A.

A= 12 m al Oeste

B= 18 m a 37° al norte del este

Y descomponemos primero en componentes:

Ax= -12 m  Ay= 0

Bx= 18cos37=14.38 m          By= 18sen37= 10.83  m

a)      A+B Como es una suma sólo se suman las componentes

R_A+Bx=  Ax  + Bx= (-12m) + (14.38m) = 2.38 m

R_A+By= Ay + By= (0m) + (10.83m)= 10.83 m

R=√( R_A+Bx² + R_A+By²)= √[(2.38²)+(10.83²)]= 11.09 m

θ= tan^-1(10.83/2.38)=77.61°

Respuesta: El vector A+B tiene una magnitud de 11.09 m y una dirección de 77.61°

b)      El  vector A+B es igual al vector B+A, por lo tanto.

Respuesta: El vector B+A tiene una magnitud de 11.09 m y una dirección de 77.61°

c)       A-B

R_A-Bx=  Ax  - Bx= (-12m) - (14.38m) = -26.38 m

R_A-By= Ay - By= (0m) - (10.83m)= -10.83 m

R=√( R_A-Bx² + R_A-By²)= √[(-26.38)²+(-10.83)²]= 28.52 m

θ= tan^-1(-10.83/-26.38)= 22.32°

Respuesta: La magnitud del vector A-B es igual a 28.52m y está a 22.32° al Sur del Oeste o 202° medidos desde el eje +x

d)      B-A

R_B-Ax=  Bx  - Ax= (14.38m) - (-12m) = 26.38 m

R_B-Ay=By - Ay= (10.83m)-(0m) = 10.83 m

R=√( R_B-Ax² + R_B-Ay²)= √[(26.38)²+(10.83)²]= 28.52 m

θ= tan^-1(10.83/26.38)= 22.32°

Respuesta: El vector B-A tiene una magnitud de 28.52m y está a 22.32°

1.40 Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) Ax= -8.60cm, Ay=5.20cm; b) Ax= -9.70m, Ay= -2.45m; c) Ax= 7.75km, Ay= -2.70 km.

a) La magnitud se calcula con el teorema de Pitágoras y la dirección con la función tangente inversa

A= √(Ax² + Ay²)= √[(-8.60)² + (5.20)²]= 10.05 cm

θ= tan^-1(5.20/-8.60)= -31.16°

Este ángulo está en el segundo cuadrante y se le suman 180 para sacar el ángulo medido desde el eje +x

θ= 180°-31.16°= 148.84 °

Respuesta: La magnitud del vector A es de 10.05 cm y está a 148.84°

b) A= √(Ax² + Ay²)= √[(-9.70)² + (-2.45)²]= 10.00 m

θ= tan^-1(-2.45/-9.70)= 14.18°

Este ángulo está en el tercer cuadrante y se le suman 180 para sacar el ángulo medido desde el eje +x

θ= 180°+14.18°= 194.18 °

Respuesta: La magnitud del vector A es de 10.00 m y está a 194.18°

c) A= √(Ax² + Ay²)= √[(7.75)² + (-2.70)²]=8.21 m

θ= tan^-1(-2.70/7.75)= -19.20 °

Este ángulo está en el cuarto cuadrante y se le suman 360° para sacar el ángulo medido desde el eje +x

θ= 360°- 19.20°= 340.8°

Respuesta: La magnitud del vector A es de 8.21 m y está a 340.8°