Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 2 Problema 5

2.5 Dos corredores parten simultáneamente del mismo punto de una pista circular de 200m y corren en la misma dirección. Uno corre con una rapidez constante de 6.20 m/s, y el otro, con rapidez constante de 5.50 m/s. ¿Cuándo alcanzará el más rápido al más lento (sacándole una vuelta) y qué distancia desde el punto de salida habrá cubierto cada uno?

 Nombraremos A al corredor de 6.20 m/s y B al otro corredor.

Bueno imagínense el punto de partida, luego en t= 1 el corredor A está a 6.20 m del inicio y B está a 5.50 m del inicio, en t= 2 A está a 12.4 m del inicio y B está a 11.00 m del inicio. Entonces hay que pensarlo así: al inicio el corredor A está a 200m dando una vuelta del corredor B, en t=1 está a 200m – 6.20(que le aventaja A) + 5.50 (que se recupera B), podemos poner esta ecuación en función del tiempo.

200 – 6.20t + 5.50 t  Está ecuación nos da lo que le lleva A a B en cualquier instante. Como nos interesa cuando lo vuelve a alcanzar igualamos a cero

200-6.20t + 5.50t=0

Despejamos

t( -6.20 + 5.50)=-200

t= -200/(-6.20 + 5.50)= 285.7 s

Después de esa cantidad de segundos se vuelven a encontrar. Luego, para sacar la distancia que ha recorrido cada uno usamos la ecuación de velocidad. V=d/t y despejamos la distancia.

Del corredor A:

d_A= v_A*t = (6.20*285.7)= 1771.34 m

Del corredor B:

d_B= v_B*t=(5.50 * 285.7)= 1571.35      y observamos que A le lleva 200 m

Respuesta:  t= 285.7s , distancia del rápido= 1771.34m , distancia del lento= 1571.35 m

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 2 Problema 4

2.4 De pilar a poste. Partiendo de un pilar, usted corre 200 m al este (la dirección +x) con rapidez media de 5.0 m/s, luego 280 m al oeste con rapidez media de 4.0 m/s hasta un poste. Calcule a) su rapidez media y b) su velocidad media; del pilar al poste.

En el primer trayecto se obtiene el tiempo de recorrido:

t= d/v= 200/5= 40 s

Y del segundo trayecto:

t= d/v= 280/4= 70 s

a)      Para la rapidez media que se define como la distancia total recorrida sobre el tiempo del recorrido.

V_med= d_total/t_total= (200m + 280m)/(40s + 70s)= 4.36 m/s

Respuesta: 4.36 m/s

b)      La velocidad media es un vector y se define como el cambio de posición con respecto al tiempo, entonces. Al principio estaba en x=0 y terminó en x= -80m ,negativo porque está a la izquierda de nuestro punto de referencia, avanzó primero 200 a la derecha y luego 280 a la izquierda.

V= (x₂-x₁)/ t_total= (-80m – 0)/ 110 = -0.73 m/s

Respuesta: -0.73 m/s

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 2 Problema 3

2.3 Viaje a casa. Suponga que normalmente conduce por la autopista que va de San Diego y Los Ángeles con una rapidez media de 105 km/h y el viaje le toma 2h y 20 min. Sin embargo, un viernes en la tarde el tráfico le obliga a conducir la misma distancia con una rapidez media de sólo 70 km/h. ¿Cuánto tiempo más tardará el viaje?

Con los primeros datos que nos dan de velocidad media y tiempo, podemos obtener la distancia del recorrido. Solo que el tiempo lo tenemos que poner todo en horas, 20 minutos son 1/3 de hora por lo tanto el tiempo son 2horas más 1/3 de hora= 2 + (1/3)= 7/3 horas

La velocidad es igual al desplazamiento sobre el tiempo

V_med= d/t    Despejamos algebraicamente la distancia que es lo que nos interesa.

d= v_medt =(105km/h)(7/3 h)= 245 km

En la segunda parte la velocidad cambia pero el recorrido es el mismo por lo tanto es la misma distancia, ahora lo que nos interesa es el tiempo.

t=(d/v)=(245km)/(70km/h)= 3.5 horas

Como nos piden el exceso de tiempo le restamos el primero al que acabamos de sacar.

t₂ – t₁ = (3.5h)- (7/3h)= 7/6 h

Eso es en horas, para convertirlo a minutos:

(7/6 h)(60min/h)= 70 minutos

Respuesta: 70 minutos

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 2 Problema 2

2.2 En un experimento, se sacó una pardela (un ave marina) de su nido, se llevó a 5150 km de distancia y luego fue liberada. El ave regresó 13.5 días después de haberse liberado. Si el origen es el nido y extendemos el eje +x al punto de liberación, ¿Cuál fue la velocidad media el ave en m/s a) en el vuelo de regreso? b) ¿Desde que se tomó de nido hasta que regresó?

a) Supondremos que todos los desplazamientos fueron en el eje x porque así lo indica el problema, empezó en 0m y la llevaron a 5,150,000 m. En el primer inciso nos interesa su regreso  y se toma el primer punto como 5,150,000m  y el último punto como 0m y el intervalo de tiempo es:

(13.5días)*(24h/1 días) *(3600s/1h)= 1,166,400 s

Entonces:

V_med= (x₂ – x₁)/(t₂-t₁)= (0-5150000)/(1166400)= -4.42 m/s

El signo negativo  indica que el desplazamiento fue hacia la izquierda tomando la derecha como el eje positive de las x.

Respuesta: V_med= -4.42 m/s

b) Como empieza en 0 y termina en 0 el desplazamiento es cero y la velocidad media es cero.

V_med=(0/t₂-t₁)= 0 m/s

Capítulo 2 Física Universitaria

Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Problema 5

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 2 Problema 1

2.1 Un cohete que lleva un satélite acelera verticalmente alejándose de la superficie terrestre. 1.15 segundos después del despegue, el cohete libra el tope de su plataforma, 63 m sobre el suelo; después de otros 4.75 segundos, está 1.00 km sobre el suelo. Calcule la magnitud de la velocidad media del cohete en a) la parte de 4.75 segundos de su vuelo; b) los primeros 5.90 segundos de su vuelo.

a) En este inciso nos preguntan la velocidad media desde que está a 63m hasta cuando está a 1000 metros en el intervalo de 4.74 segundos.

La velocidad media se calcula simplemente restando la posición inicial de la posición final y dividiéndola entre el intervalo de tiempo. Así:

V_med= (y₂ –y₁)/(t₂-t₁)=  (1000-63)/(5.90-1.15)= (937m/4.75s)= 197.26 m/s

Se usó la letra “y” en la posición porque el cohete se mueve sobre el eje vertical.

Respuesta:  V_med= 197.26 m/s

b) En este inciso se toma en cuenta el trayecto hasta los 5.90 segundos. Desde que despegó (como no ha avanzado se toma la posición inicial de cero y un tiempo inicial de 0) hasta que está a un kilómetro del suelo. Entonces:

Respuesta: V_med= (y₂ –y₁)/(t₂-t₁)=  (1000 – 0)/(5.90 – 0)=  169.49 m/s

AutoCAD. Cap20. Capas Parte III

AutoCAD. Cap20. Capas Parte II

AutoCAD. Cap20. Capas Parte I

AutoCad cap. 19. La ventana propiedades

AutoCAD. Cap18-2. Patrones de sombreado. Parte II

AutoCAD. Cap. 18-1. Patrones de sombreado. Parte I

AutoCAD. Cap. 17. Pinzamientos

AutoCAD. Cap. 16-2. Edicion avanzada. Parte II

AutoCAD. Cap.16-1. Edicion avanzada. Parte I.

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 53

1.53. Suponiendo un sistema derecho de coordenadas, encuentre la dirección del eje +z en a) la figura 1.15a; b) la figura 1.15b.

Les dejo un video explicando cómo se resuelve este problema.

¿Porqué se llaman aleaciones eutécticas?

El término eutéctico proviene del griego eutectos que significa "fácilmente fusible".

¿Por qué a la corriente se le denota con la letra i?

Se utiliza la letra i para la corriente porque Andrè Marie Ampere (1775-1836) originalmente le dio el nombre de intensité que significa intensidad.

AutoCAD. Cap.15-3-b. Edicion simple.Parte III b

AutoCAD. Cap.15-3-a. Edicion simple.Parte III a

AutoCAD. Cap. 15-2. Edicion simple. Parte II

AutoCAD. Cap. 15-1-b. Edicion simple. Parte I b

AutoCAD. Cap. 15-1-a. Edicion simple. Parte I a

AutoCAD. Cap14. El sistema de Coordenadas Personales

AutoCAD. Cap. 13. Administracion de vistas

AutoCAD. Cap12. Zoom

AutoCAD. cap. 11. Rastreo polar

AutoCAD. Cap. 10. Rastreo de referencia a objetos

AutoCAD. Cap. 9. Referencia a objetos

AutoCAD. Cap.8-1. Texto. Parte I

AutoCAD. Cap. 8-2. Texto. Parte II

AutoCAD. Cap08. Texto. Parte I

AutoCAD. Cap. 7. Propiedades de los objetos

AutoCAD. Cap. 6. Geometria de los objetos compuestos

AutoCAD. Cap. 5. Geometría de los objetos básicos

AutoCAD. Cap. 4. Parámetros básicos

AutoCAD. Cap. 3-2. Unidades y coordenadas Parte II

AutoCAD. Cap. 3-1. Unidades y coordenadas Parte I

AutoCAD. Cap. 2. La Interfaz de Pantalla. Parte II.

AutoCAD. Cap. 2-1. La interfaz de pantalla. Parte I

Tutorial de AUTOCAD

Este es un tutorial de aulaclic, tienen un canal en youtube que es muy bueno y si tienen la oportunidad también pasense por su página.

1- AutoCAD. Cap.1. ¿Qué es AutoCAD?
2- AutoCAD. Cap. 2-1. La interfaz de pantalla. Parte I.
3- AutoCAD. Cap. 2. La Interfaz de Pantalla. Parte II.
4- AutoCAD. Cap. 3-1. Unidades y coordenadas Parte I
5- AutoCAD. Cap. 3-2. Unidades y coordenadas Parte II
6- AutoCAD. Cap. 4. Parámetros básicos
7- AutoCAD. Cap. 5. Geometría de los objetos básicos
8- AutoCAD. Cap. 6. Geometria de los objetos compuestos.
9- AutoCAD. Cap. 7. Propiedades de los objetos
10- AutoCAD. Cap.8-1. Texto. Parte I
11-AutoCAD. Cap08. Texto. Parte I
12- AutoCAD. Cap. 8-2. Texto. Parte II
13-  AutoCAD. Cap. 9. Referencia a objetos
14- AutoCAD. Cap. 10. Rastreo de referencia a objetos
15- AutoCAD. cap. 11. Rastreo polar
16- AutoCAD. Cap12. Zoom
17- AutoCAD. Cap. 13. Administracion de vistas
18- AutoCAD. Cap14. El sistema de Coordenadas Personales
19- AutoCAD. Cap. 15-1-a. Edicion simple. Parte I a
20- AutoCAD. Cap. 15-1-b. Edicion simple. Parte I b
21- AutoCAD. Cap. 15-2. Edicion simple. Parte II
22- AutoCAD. Cap.15-3-a. Edicion simple.Parte III a
23- AutoCAD. Cap.15-3-b. Edicion simple.Parte III b
24- AutoCAD. Cap.16-1. Edicion avanzada. Parte I.
25- AutoCAD. Cap. 16-2. Edicion avanzada. Parte II
26- AutoCAD Cap. 17. Pinzamientos
27- AutoCAD. Cap. 18-1. Patrones de sombreado. Parte I
28-  AutoCAD Cap. 18-2 Patrones de sombreado. Parte II
29- AutoCAD Cap. 19 La ventana propiedades
30- AutoCAD Cap 20. Capas Parte 1
31- AutoCAD Cap. 20 Parte II
32- AutoCAD Cap. 20 Parte III

AUTOCAD Capítulo 1 ¿Qué es AUTOCAD?

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Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 52

1.52 Calcule el ángulo entre estos pares de vectores:

a) A= -2.00î + 6.00j               y   B= 2.00î -3.00j

b) A= 3.00î +5.00j                 y      B= 10.00î + 6.00j

c) A=-4.00î + 2.00j                y   B= 7.00î + 14.00j

En todos los incisos se usará la definición de producto punto, cada vez que nos pida un ángulo entre vectores debemos recordar la fórmula del producto punto.    A∙B= ABcosϴ  y como lo que nos ocupa es el ángulo lo despejamos.     ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]

La parte de A∙B se pude obtener de A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   y la parte de AB se obtiene multiplicando las magnitudes de los vectores que se obtienen haciendo una suma vectorial de las componentes.

a)      Primero sacamos el producto punto

A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   = (-2.00)(2.00) + (6.00)(-3.00)= -22

Luego las magnitudes

A= √[(A_x)² + (A_y)²]= √[(-2.00)² + (6.00)²]= √40

B= √[(B_x)² + (B_y)²]= √[(2.00)² + (-3.00)²]= √13

Y sustituimos eso en la fórmula:

ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]= cos^-1[(-22)/(√40*√13)] = 164. 7°

Respuesta: 164.7°

b)      Primero sacamos el producto punto

A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   = (3.00)(10.00) + (5.00)(6.00)= 60

Luego las magnitudes

A= √[(A_x)² + (A_y)²]= √[(3.00)² + (5.00)²]= √34

B= √[(B_x)² + (B_y)²]= √[(10.00)² + (6.00)²]= √136

Y sustituimos eso en la fórmula:

ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]= cos^-1[(60)/(√34*√136)] = 28.1°

Respuesta= 28.1°

c)       Primero sacamos el producto punto

A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   = (-4.00)(7.00) + (2.00)(14.00)= 0

Luego las magnitudes

A= √[(A_x)² + (A_y)²]= √[(-4.00)² + (2.00)²]= √20

B= √[(B_x)² + (B_y)²]= √[(7.00)² + (14.00)²]= √245

Y sustituimos eso en la fórmula:

ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]= cos^-1[(0)/(√20*√245)] = 90°

Este resultado se pudo obtener dese que sacamos que el producto punto era 0, si ese resultado es cero se sabe que los vectores son perpendiculares por lo que el ángulo entre ellos es 90

Respuesta= 90°

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 51

1.51 a) Obtenga el producto escalar de los dos vectores A y B dados en el ejercicio 1.47. b) Obtenga el ángulo entre esos dos vectores.

Del ejercicio 1.47  A= 4.00î + 3.00j     B= 5.00î - 2.00j

a)      Esto es sencillo solo multiplicando cada componente con su correspondiente del otro vector y sumar los resultados

A∙B= A_xB_x + A_yB_y = (4.00)(5.00) + (3.00)(-2.00)=14

Respuesta= A∙B= 14

b)      Primero debemos obtener las magnitudes de ambos vectores

A= √[(4.00)² + (3.00)²]= 5

B=√[(5.00)² + (-2.00)²]= √29      Lo dejamos expresado como raíz

Sabemos que A∙B= ABcosϴ   y nosotros ya conocemos el valor del producto punto (lado izquierdo de la ecuación) del inciso anterior, tenemos  las magnitudes de ambos vectores y sólo nos falta el ángulo, podemos despejar

cosϴ= (A∙B)/(AB) y sacamos coseno inverso a ambos lados de la ecuación

ϴ= cos^-1[(A∙B)/(AB)]= cos^-1[14/(5*√29)]= 58.7°

Respuesta= ϴ= 58.7°

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 50

1.50 Para los vectores A, B y C de la figura 1.28, obtenga los productos escalares a)A∙B; b) B∙C; c)A∙C.

Del problema 1.45 tenemos los vectores en términos de vectores unitarios

A= (7.22m)î + (9.58m)j

B= (11.49m)î – (9.64m)j

C= -(3m)î – (5.2m)j

       a)      Hay dos formas de obtener el producto punto de dos vectores. El primero es multiplicar las magnitudes de ambos por el coseno del ángulo que se forma entre ellos siendo este ángulo menor o igual a 180°

A= 12m       y    B= 15m      Se observa que el ángulo entre ellos es 40 + (90-37)= 93°

Por lo tanto A∙B= (12m)(15m)cos93°= -9.4 m²

La segunda forma consiste en multiplicar la componente en x de ambos y sumarlos a la multiplicación de las componentes en y de ambos. Las componentes ya las tenemos de los vectores unitarios.

A∙B= A_xB_x + A_yB_y= (7.22m)(11.49m) + (9.58m)(-9.64m)=  -9.4 m²   lo cual coincide con  nuestra respuesta anterior

Respuesta=  A∙B= - 9.4m²

b) Con el primer método  B= 15m       C= 6m  y entre ellos hay un ángulo de 180 –(60+40= 80°

B∙C= (15m)(6m)cos80°= 15.6 m²

Y usando el método de componentes.

B∙C= B_xC_x + B_yC_y = (11.49m)( -3m) + (-9.64m)(-5.2m)= 15. 6 m²

Respuesta: B∙C= 15.6m²

c) A= 12m y C = 6m    el ángulo entre ellos es  (90-60) + (90) + (90-37) = 173°

A∙C= (12m)(6m)cos173°= -71.5 m²

Con el segundo método:

A∙C= A_xC_x+ A_yC_y= (7.22m)(-3m) + (9.58m)(-5.2m)= -71.5 m²

Respuesta= A∙C= -71.5 m²

 

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 48

1.48. a) ¿El vector (î + j + k) es unitario? Justifique su respuesta. b) ¿Un vector unitario puede tener alguna componente con magnitud mayor que la unidad? ¿Puede tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta. c) Si A= a(3.0î + 4.0j), donde a es una constante, determine el valor de a que convierte a A en un vector unitario.

a) Los vectores unitarios son los que tienen magnitud de uno, entonces para saber si es unitario sumamos vectorialmente sus componentes para obtener la magnitud. La componente en î es la componente x, la j es la componente y  en k es la componente en z.

√[(1)² + (1)² + (1)²]= √3           Este resultado es mayor que uno por lo tanto no es un vector unitario.

b) Del inciso anterior vimos que se obtiene la magnitud del vector sumando vectorialmente, si cualquier número dentro de la raíz es mayor que uno, resultará siempre un resultado mayor que la unidad así que un vector unitario no puede tener componentes mayores que la unidad.

Las componentes pueden ser negativas porque se elevan al cuadrado dentro de la raíz, siempre y cuando no sea menor que -1.

c) Para un vector dado, si queremos un vector unitario en la misma dirección, se divide el vector entre la magnitud del vector, así que primero obtenemos la magnitud.

√[(3)²+(4)²]= 5

Entonces para obtener el vector unitario se dividen las componentes del vector entre la magnitud.

Â= (3.0 i + 4.0 j)/5  = (3/5)î + (4/5)j

Si sumamos esas componentes del  vector unitario  comprobamos que vale 1.

√[(3/5)²+ (4/5)²]= 1

Por lo tanto en el vector A= a(3.0i + 4.0 j)    la constante a vale (1/5)

Respuesta: a=1/5

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 47

1.47 Dados vectores A= 4.00î + 3.00j y B=5.00î – 2.00j. a) calcule las magnitudes de cada vector; b) escriba una expresión para A-B usando vectores unitarios; c) obtenga la magnitud y dirección de A-B; d)Dibuje un diagrama vectorial que muestre A,B yA-B y demuestre que coincide con su respuesta en la parte (c).

a) Al tener los vectores expresados en î y j, ya tenemos las componentes en cada eje, así que sólo usamos el teorema de Pitágoras para sumarlas y obtener la magnitud del vector.

A=√[(Ax)²+(Ay)²]= √[(4.00)²+ (3.00)²]= 5

B= √[(Bx)²+(By)²]= √[(5.00)²+ (-2.00)²]= 5.39

Respuesta: A= 5   B= 5.39

b) Sólo sustituimos los vectores iniciales en la nueva expresión

 A-B= (4.00î + 3.00j)- (5.00î – 2.00j)=  4.00î – 5.00î + 3.00j +2.00 j = -(1.00)î + (5.00)j

Respuesta: -(1.00)î + (5.00)j

 c) Ya tenemos las componentes de la respuesta anterior así que sólo se sumas vectorialmente para obtener la magnitud.

(A-B)= √[(A-B)_x² + (A-B)_y²]= √[ (-1.00)² + (5.00)²]= 5.10

La dirección se obtiene con la tengente inversa, arctan

ϴ= tan^-1[(A-B)_y/(A-B)_x]= tan^-1(5/-1)= - 78.69°

Como la componente en x es negativa y en “y” es positiva, el vector se encuentra en el segundo cuadrante y el ángulo obtenido está medido desde el eje negtivo x por lo que le sumamos 180° para que esté medido desde el eje x positivo.

ϴ= 180°- 78.69°= 101.31°

Respuesta: (A-B)= 5.10          ϴ= 101.31°

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 46

1.46 a) Escriba los vectores de la figura 1.30 en términos de los vectores unitarios î i j. b) Use vectores unitarios para expresar el vector C, donde C=3.00A- 4.00B. c)Calcule la magnitud y dirección de C.

a) Para escribirlo en término de vectores unitarios primero sacamos los componentes en x e y.

A_x= 3.60cos70°= 1.23 m       A_y= 3.60sen70°= 3.38 m

B_x= -2.4cos30°= -2.08 m             B_y= -2.4sen30°= -1.2m

Y para poner cada vector en términos de  î y  j sólo se ponen los componentes en x multiplicando al vector i y los de y al vector j. Hay que recordar que al ponerlo como î y j, lo que se está haciendo es una suma vectorial de la componente en x y la componente en y.

Respuesta:  A= (1.23m)î + (3.38m)j             B= -(2.08m)î –(1.2m)j

b) C = 3.00A – 4.00B

Sólo se sustituye cada vector en donde corresponde.

C= 3.00[(1.23m)î + (3.38m)j] – 4[-(2.08m)î –(1.2m)j]            Y se multiplica

C= (3.69m)î + (10.14m)j +(8.32m)î + (4.8m)j                   Se suman los términos que tienen î y los de j respectivamente

Respuesta: C= (12.01m)î + (14.94m)j

c) En la respuesta anterior expresamos el vector en términos de î y j, el número que multiplica a î es la componente en x y el que multiplica a j es la componente en “y”, así que usamos el teorema de Pitágoras y la tangente inversa para el ángulo.

C=√[(Cx)² + (Cy)²]= √[(12.01)² + (14.94)²]= 19.17 m

ϴ= tan^-1(Cy/Cx)= tan^-1(14.94/12.01)= 51.20°

Como las dos componentes son positivas el vector C se encuentra en el primer cuadrante y el ángulo dado ya está medido desde el eje positivo x.

Respuesta: C= 19.17 m       ϴ= 51.20°

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 45

1.45 Escriba los vectores de la figura 1.28 en términos de los vectores unitarios î y j

Del problema 1.35 ya habíamos obtenidos las componentes por lo que resta el fácil, se escribe el vector en la forma A= A_x î  + A_yj

A_x= 7.22 m   A_y= 9.58m

B_x= 11.49m    B_y= -9.64 m

C_x= -3m              C_y= -5.2 m

Entonces se usa la forma antes mencionada para cada vector:

A= A_x î  + A_yj= (7.22m)î + (9.58m)j

B= B_x î  +B_yj= (11.49m)î + (-9.64m)j= (11.49m)î - (9.64m)j

C= C_x î  + C_yj= (-3m)î + (-5.2m)j = -(3m)î  -(5.2m)j

Respuesta:   A = (7.22m)î + (9.58m)j

B= (11.49m)î - (9.64m)j

C = -(3m)î  -(5.2m)j

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 44

1.44 Escriba los vectores de la figura 1.27 en términos de los vectores unitarios î y j

Del problema 1.39 ya habíamos obtenido las componentes y lo que sigue para expresar el vector en términos de vectores unitarios es realmente sencillo, se toma la componente en x del vector con todo y signo y sólo se le multiplica por el vector unitario î, de igual manera se toma la componente en “y” y se le multiplica por el vector unitario j. La forma general de escribir un vector de esta manera es              A= A_xî  +  A_yj

A_x= -12 m        A_y= 0

B_x = 14.38 m      B_y= 10.83 m

Entonces el vector A sería

A= A_xî  +  A_yj= (-12m)i + (0m)j = (-12m)i         La componente en y (la que multiplica al vector j) está multiplicando por cero por lo que no es necesario escribirla.

B= B_xî  +  B_yj = (14.38m)î + (10.83m)j

Respuesta: A= (-12m)i               B=(14.38m)î + (10.83m)j

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 43

1.43 El vector A mide 2.80 cm y está a 60.0° sobre el eje x en el primer cuadrante. El vector B mide 1.90 cm y está 60.0° bajo el eje x en el cuarto cuadrante. (Fig. 1.29). Obtenga la magnitud y dirección de a) A+B; b) A-B; c)B-A. En cada caso, dibuje la suma o resta de vectores y demuestre que sus respuestas numéricas concuerdan con el dibujo.

Primero sacamos las componentes de los dos vectores,

A_x= Acos60°= (2.80)cos60°=1.40 cm

A_y= Asen60°= (2.80)sen60°=2.42 cm

Y luego de B

B_x= 1.90cos60°= 0.96 cm

B_y = -1.90sen60°= -1.65 cm             Es negativo porque los vectores que se encuentran en el cuarto cuadrante siempre tienen componente y negativa.

a)      A+B

(A+B)_x= Ax +Bx= (1.40) + (0.96)= 2.36 cm

(A+B)_y= Ay+ By= (2.42) + (-1.65)= 0.77 cm

Luego usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector suma A+B

(A+B)=√[(A+B)_x² + (A+B)_y²]= √[(2.36)² + (0.77)²]= 2.48 cm

Y la dirección se obtiene con la tangente inversa

ϴ= tan^-1[(A+B)_y/(A+B)_x]= tan^-1(0.77/2.36)= 18.07 °   Este ángulo está en el primer cuadrante porque ahí las dos componentes son positivas.

Respuesta: (A+B)= 2.48 cm  a 18.07°

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 42

1.42 El vector A tiene componentes Ax= 1.30cm, Ay= 2.25cm; el vector B tiene componentes Bx=4.10 cm, By= -3.75cm. Calcule a) las componentes de la resultante A+ B; b) la magnitud y dirección de A+B; c) las componentes del vector diferencia B-A; d) la magnitud y dirección de B-A

a) Aquí ya nos dan las componentes así que sólo hay que sumar.

Para la componente x del vector suma (A+B)_x  :

(A+B)_x= (A_x)+(B_x)= 1.30 + 4.10= 5.40 cm

Y para la componente en y

(A+B)_y=(A_y)+(B_y)= 2.25 + (-3.75)= -1.50 cm

Respuesta: (A+B)_x= 5.40 cm         ;  (A+B)_y= -1.50 cm

b) Con las respuestas de a) se usa el teorema de Pitágoras para sacar la resultante (A+B):

(A+B)= √[(A+B)_x+(A+B)_y]= √[(5.40)² + ( -1.50)²]= 5.60 cm

Y la dirección con ϴ=tan^-1[(A+B)_y/(A+B)_x]= tan^-1(-1.50/5.40)= -15.5°

Ese ángulo está en el  cuarto cuadrante hacia abajo del eje positivo de x para expresarlo de manera positiva se le suman 360°

ϴ= 360° - 15.5°=344.5°

Respuesta: (A+B)= 5.60 cm        y  ϴ=344.5°

c) Para las componentes de (B-A)

(B-A)_x= B_x –A_x =( 4.10) – (1.30)= 2.80 cm

(B-A)_y= B_y – A_y = (-3.75)- (2.25) = -6.00

Respuesta: (B-A)_x= 2.80 cm  y  (B-A)_y= - 6 cm

d) Con las respuestas de c) se usa el teorema de Pitágoras para sacar la resultante (B-A):

(B-A)= √[(B-A)_x+(B-A)_y]= √[(2.80)² + ( -6.00)²]= 6.62 cm

Y la dirección con ϴ=tan^-1[(B-A)_y/(B-A)_x]= tan^-1(-6.00/2.80)= -64.98 °

Ese ángulo está en el  cuarto cuadrante hacia abajo del eje positivo de x para expresarlo de manera positiva se le suman 360°

ϴ= 360° - 64.98°=295.02°

Respuesta= (B-A)= 6.62 cm                y ϴ= 295.02°

Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 41

1.41 Un profesor de física desorientado conduce 3.25 km al norte, 4.75 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcule la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, usando el método de componentes. En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el método de componentes.

Podemos nombrar al primer vector A= 3.25 km, al segundo B= 4.75 km y el último C=1.50

Lo segundo es expresarlos en términos de componentes

Ax= 0     Porque el desplazamiento es totalmente vertical

Ay= 3.25  Positivos porque el desplazamiento es hacia arriba

Bx=  -4.75  Negativo porque se mueve a la izquierda

By=  0         Porque el desplazamiento es totalmente horizontal

Cx= 0          Porque el desplazamiento es totalmente vertical

Cy= -1.50     Negativo porque es hacia abajo

Luego sumamos las componentes para obtener componentes de un vector resultante

Rx= Ax + Bx + Cx= 0 + (-4.75)+ o= -4.75 km

Ry= Ay + By + Cy= 3.25 +0 + (-1.50) = 1.75 km

Después usamos el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud del vector resultante

R= √[Rx² + Ry²]= √[(-4.75)² + (1.75)²]=  5.06 km

Y la dirección con

ϴ= tan^-1(Ry/Rx)= tan^-1(1.75/-4.75)= -20.22 °

Este ángulo negativo está en el segundo cuadrante medido a partir del eje negativo de las x, si le sumamos 180° obtenemos el ángulo medido desde el eje positivo de las x.

ϴ= -22.22 + 180 = 159.78 °

Respuesta: R= 5.06 km a 159.78 °