martes, 14 de diciembre de 2010

Aceleración instantánea

Para definir la aceleración instantánea seguiremos el mismo procedimiento que utilizamos con la velocidad instantánea, considerando el ejemplo que se vio aquí.

Acercamos cada vez más el punto dos al punto uno, y se calcula la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez màs pequeños. La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el tiempo tiende a cero. Así, en el lenguaje del cálculo es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, es la tasa de cambio instantánea de la velocidad con el tiempo.

a=dv/dt

Y como la velocidad es dx/dt se puede escribir.

a= d/dt(dx/dt)= d2x/dt2

Así que la aceleración también se define como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

Aceleración media

Igual que la velocidad nos dice la tasa de cambio de la posición con el tiempo, así también la aceleración nos dice la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. Asímismo es una cantidad vectorial.
v=10m/s

Imaginen que en t1=1s, el auto tiene una velocidad instantánea de 10 m/s
y en t2=3s tiene una velocidad instantánea de 30 m/s.

La aceleración media de una partícula es igual a el cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo.

amed= Dv/Dt

En este ejemplo:


v=30m/s

a= (30m/s-10m/s)/(3s-1s)=10 m/s2

Las unidades usadas son metros por segundo al cuadrado.

Esta definición de aceleración es en línea recta solamente.

Velocidad instantánea

Para saber más a detalle lo que sucede en la trayectoria de una partícula no basta con conocer la velocidad media, para conocer con mayor detalle lo que sucede en cada instante necesitamos la velocidad instantánea.

Recuerden el ejemplo que se dio en la velocidad media, un auto que sufre un desplazamiento en cierto intervalo de tiempo, ahora imaginen que el punto 2 se acerca cada vez más al punto uno, y se va calculando la velocidad media para estos intervalos de desplazamiento y tiempo cada vez más cortos. Tanto Dx como Dt se hacen muy pequeños pero al dividirlos no queda necesariamente una cantidad pequeña.

En cálculo, el límite de  Dx/Dt cuando Dt se acerca a cero es la derivada de x con respecto a t y es la tasa de cambio instantánea de la posición con el tiempo.

vx= dx/dt        

Esa es la componente en x de la velocidad ya que estamos empezando con movimiento unidimensional. Al igual que la velocidad media, la velocidad instantánea es una cantidad vectorial.

La rapidez de una partícula es el valor absoluto de la velocidad, mide sólo que tan rápido se mueve la partícula y no en qué dirección, la velocidad indica que tan rápido se mueve la partícula y en que dirección.

lunes, 13 de diciembre de 2010

Velocidad promedio o velocidad media.

Consideremos una partícula que en un instante t ocupa cierta posición en la recta, en un instamte posterior se encuentra en otra posición. La velocidad media o velocidad promedio de una partícula se define como el cambio en su posición (desplazamiento), dividido entre el intervalo de tiempo Dt en el que ocurre el desplazamiento.

vmed=Velocidad promedio = Dx/Dt= (x2-x1)/(t2-t1)

carro en x1=3m; y t1= 1s.
El desplazamiento se expresa en metros y el tiempo en segundos, así que las unidades usadas para la velocidad son m/s.

Imaginen que un carro está en una posición 3m positiva en un instante t=1s. Recuerden que estamos representando los cuerpos como partículas.

Luego el carro se mueve a una nueva posición 10m en un instante t=4s.

Carro en x2= 10m; y t2= 4s.
Y recordando la definiciòn de velocidad.

vmed= (x2-x1)/(t2-t1)= (10m-3m)/(4s- 1s)= 7m/3s= 2.33 m/s

El resultado es positivo y significa que se mueve en la dirección positiva de la recta.

Si hubieramos tenido primero x1= 10m y x2=3m en los mismos instantes.
Hubieramos obtenido:

vmed= (x2-x1)/(t2-t1)= (3m-10m)/(4s- 1s)= -7m/3s= -2.33 m/s

 Este resultado negativo significa que la partícula se mueve en la dirección negativa de la recta.

Una cosa importante es que la elección de las x positivas es arbitraria, podríamos haber decidido que las posiciones positivas fueran a la izquierda del origen y nuestros resultados habrían salido con signos opuestos.
Aunque lo usual es usar las x de la derecha como las positivas.

Es muy importante recordar que la velocidad es un vector, aquí se pueden sumar y restar algebraicamente porque se mueven en una dimensión, pero después veremos qué pasa en movimiento en más dimensiones.
 


Posición y desplazamiento

Para evitar complicaciones en algunos conceptos físicos, se empieza por estudiar partículas en lugar de cuerpos, así se puede despreciar la rotación de un cuerpo al moverse o su vibración. Simplemente hay que imaginarnos un punto pequeñísimo, aunque de hecho las partículas, matmáticamente son objetos sin tamaño, cosa inexistente en la naturaleza, pero aún así se pueden hacer muy buenas aproximaciones a lo que sucede en la naturaleza considerando partículas.

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en un movimiento rectilíneo. En cualquier instante t la partícula ocupará una posición en la recta. Para determinar la posición se elige el origen en la recta y se elige la dirección positiva. Se mide la distancia desde el origen hasta la posición y se representa con un número, positivo o negativo según sea el caso.

La distancia x de la partícula determina por completo la posición de la partícula y se denomina coordenada de la posición.  La unidad de posición que se usa para la posición  en el SI es el metro.


En este ejemplo la posiciòn es +5m, o sólo 5m en la dirección positiva.
Ahora pasamos al desplazamiento. Éste es simplemente un vector que indica el cambio de posición de una partícula. Dx= x2-x1  . Ese triangulito se llama delta, es una letra griega, y no significa una multiplicación de x y delta, sino que representa un cambio en la cantidad de x. Siempre se usa delta para representar un cambio y se calcula restando el valor inicial x1 del valor final x2.