Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 48

1.48. a) ¿El vector (î + j + k) es unitario? Justifique su respuesta. b) ¿Un vector unitario puede tener alguna componente con magnitud mayor que la unidad? ¿Puede tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta. c) Si A= a(3.0î + 4.0j), donde a es una constante, determine el valor de a que convierte a A en un vector unitario.

a) Los vectores unitarios son los que tienen magnitud de uno, entonces para saber si es unitario sumamos vectorialmente sus componentes para obtener la magnitud. La componente en î es la componente x, la j es la componente y  en k es la componente en z.

√[(1)² + (1)² + (1)²]= √3           Este resultado es mayor que uno por lo tanto no es un vector unitario.

b) Del inciso anterior vimos que se obtiene la magnitud del vector sumando vectorialmente, si cualquier número dentro de la raíz es mayor que uno, resultará siempre un resultado mayor que la unidad así que un vector unitario no puede tener componentes mayores que la unidad.

Las componentes pueden ser negativas porque se elevan al cuadrado dentro de la raíz, siempre y cuando no sea menor que -1.

c) Para un vector dado, si queremos un vector unitario en la misma dirección, se divide el vector entre la magnitud del vector, así que primero obtenemos la magnitud.

√[(3)²+(4)²]= 5

Entonces para obtener el vector unitario se dividen las componentes del vector entre la magnitud.

Â= (3.0 i + 4.0 j)/5  = (3/5)î + (4/5)j

Si sumamos esas componentes del  vector unitario  comprobamos que vale 1.

√[(3/5)²+ (4/5)²]= 1

Por lo tanto en el vector A= a(3.0i + 4.0 j)    la constante a vale (1/5)

Respuesta: a=1/5