Física Universitaria Volumen 1 Capítulo 1 Problema 52

1.52 Calcule el ángulo entre estos pares de vectores:

a) A= -2.00î + 6.00j               y   B= 2.00î -3.00j

b) A= 3.00î +5.00j                 y      B= 10.00î + 6.00j

c) A=-4.00î + 2.00j                y   B= 7.00î + 14.00j

En todos los incisos se usará la definición de producto punto, cada vez que nos pida un ángulo entre vectores debemos recordar la fórmula del producto punto.    A∙B= ABcosϴ  y como lo que nos ocupa es el ángulo lo despejamos.     ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]

La parte de A∙B se pude obtener de A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   y la parte de AB se obtiene multiplicando las magnitudes de los vectores que se obtienen haciendo una suma vectorial de las componentes.

a)      Primero sacamos el producto punto

A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   = (-2.00)(2.00) + (6.00)(-3.00)= -22

Luego las magnitudes

A= √[(A_x)² + (A_y)²]= √[(-2.00)² + (6.00)²]= √40

B= √[(B_x)² + (B_y)²]= √[(2.00)² + (-3.00)²]= √13

Y sustituimos eso en la fórmula:

ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]= cos^-1[(-22)/(√40*√13)] = 164. 7°

Respuesta: 164.7°

b)      Primero sacamos el producto punto

A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   = (3.00)(10.00) + (5.00)(6.00)= 60

Luego las magnitudes

A= √[(A_x)² + (A_y)²]= √[(3.00)² + (5.00)²]= √34

B= √[(B_x)² + (B_y)²]= √[(10.00)² + (6.00)²]= √136

Y sustituimos eso en la fórmula:

ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]= cos^-1[(60)/(√34*√136)] = 28.1°

Respuesta= 28.1°

c)       Primero sacamos el producto punto

A∙B= A_xB_x  + A_yB_y   = (-4.00)(7.00) + (2.00)(14.00)= 0

Luego las magnitudes

A= √[(A_x)² + (A_y)²]= √[(-4.00)² + (2.00)²]= √20

B= √[(B_x)² + (B_y)²]= √[(7.00)² + (14.00)²]= √245

Y sustituimos eso en la fórmula:

ϴ= cos^-1[(A∙B)/AB]= cos^-1[(0)/(√20*√245)] = 90°

Este resultado se pudo obtener dese que sacamos que el producto punto era 0, si ese resultado es cero se sabe que los vectores son perpendiculares por lo que el ángulo entre ellos es 90

Respuesta= 90°